ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ОРТОГОНАЛЬНОЇ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ ПРОГОНКИ ПРИ АНАЛІЗІ СТАЦІОНАРНИХ ДИНАМІЧНИХ ЗАДАЧ В НЕОДНОРІДНИХ СТРУКТУРАХ

Анотація

Мета роботи. Розвиток чисельного алгоритму для розв’язання широкого кола задач стаціонарної динаміки про взаємодію пластин і циліндричних оболонок з пружними інерційними основами, механічні параметри яких змінюються по товщині за довільними неперервними або дискретними законами. Розв’язання отриманим алгоритмом конкретних задач і оцінка впливу змінності характеристик середовища на основні динамічні характеристики на прикладі трьох задач стаціонарної динаміки.

Методи дослідження. Для опису руху пластин і оболонок використовуються рівняння типу Тимошенко і рівняння, які базуються на гіпотезі Кірхгофа-Лява. Поведінка основи описується динамічними рівняннями теорії пружності в напруженнях, з яких з врахуванням змінності модуля Юнга і густини виведені рівняння у переміщеннях зі змінними коефіцієнтами, які в загальному випадку не вдається проінтегрувати аналітично. Для отриманої в результаті переходу до амплітуд і запису умов контакту між тонкостінною конструкцією і неоднорідною основою крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь застосовується метод ортогональної диференціальної прогонки, який на кожному кроці ортогоналізації використовує метод Рунге-Кутта для розв’язання задачі Коші. Таким чином, в задачах про вільні хвилі і власні частоти розв’язується задача на власні значення, а в задачах про рухомі навантаження треба використовувати зворотній хід і потім застосовувати метод суперпозиції. Для оцінки точності, а також оптимального вибору вузлів ортогоналізації в граничних випадках усіх розглянутих задач за умови однорідної основи знайдені аналітичні розв’язки і проведено порівняння результатів.

Отримані результати. Створено пакет прикладних програм для чисельного розв’язання крайових однорідних і неоднорідних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, який ґрунтується на методі ортогональної диференціальної прогонки. В даному дослідженні цей пакет застосовується для задач із трьох основних класів задач стаціонарної динаміки: про розповсюдження вільних хвиль в системі циліндрична оболонка – неоднорідний пружний заповнювач, про визначення власних частот в трьохшаровій циліндричній оболонці з неоднорідним середнім шаром і про рух нормального навантаження по пластині на неоднорідній за товщиною основі. В кожній задачі показано вплив неоднорідності основи на фазові швидкості, власні частоти, переміщення пластини. Перевірена за допомогою граничних переходів до відповідних однорідних матеріалів ефективність розробленої програми для більш складних практичних задач і зроблено рекомендації по використанню даного алгоритму для середовищ зі значною кількістю шарів.

Наукова новизна. Отримав розвиток для задач стаціонарної динаміки пластин і оболонок, які взаємодіють з тривимірним неоднорідним інерційним середовищем, алгоритм, який ґрунтується на методі ортогональної диференціальної прогонки. За його допомогою розв’язані три задачі з різних трьох класів даного розділу механіки деформівного твердого тіла. Вказані шляхи подальшого використання розробленого пакета на задачі таких класів.

Практична цінність. Розроблений пакет програм і отримані за його допомогою результати можуть використовуватися в практиці роботи проектних організацій, які займаються розробкою елементів нової техніки, будівництва, прокладкою сучасних автомагістралей. Крім того, математична частина даної публікації може бути корисною не лише в механіці деформівного твердого тіла, а і в тих розділах науки, де виникають краєві задачі для систем звичайних диференціальних рівнянь.