Расчет балки переменного сечения на упругом основании квазианалитическим методом

Анотація

Цель работы. Разработка квазианалитического метода решения нелинейных дифференциальных уравнений и его апробация применительно к балкам переменного сечения на упругом основании с двумя коэффициентами постели.

Методы исследования. Искомую функцию, с учетом ее предполагаемой формы, аппроксимируем некоторой известной функцией. После ее подстановки в нелинейное дифференциальное уравнение задача сводится к аналитическому или численному нахождению таких коэффициентов функции, при которых оценка разницы между правой и левой частями дифференциального уравнения будет минимальной при всех возможных значениях переменной. В соответствии с теорией качеств, величина оценки разности позволяет судить, насколько удачно была подобрана аппроксимирующая функция. Если для аппроксимации используется степенная функция, задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Решение может быть уточнено с помощью численной оптимизации, при которой искомые коэффициенты являются варьируемыми параметрами.

Полученные результаты. В ходе апробации были получены конкретные решения в области строительства. Была исследована клиновидная бетонная балка на упругом основании (грунте) с прямоугольным сечением переменной высоты. Были получены решения для семи различных форм распределенной нагрузки. Во всех случаях усредненная погрешность решения не превышала 0,1 %, что подтверждает качество предложенного метода расчета и адекватность выбранной аппроксимирующей степенной функции.

Научная новизна. Авторам не встречался в литературных источниках такой метод решения нелинейных дифференциальных уравнений.

Практическая ценность. Предложенный квазианалитический метод может быть использован для решения дифференциальных уравнений любого порядка с нелинейностями различного типа, в том числе – при расчетах балок переменного сечения на упругом основании. При этом учет граничных условий легко реализуем.